Wzór na pole czworokąta zależy od rodzaju figury oraz od danych podanych w zadaniu. Nie istnieje jeden prosty wzór, który w każdej sytuacji pozwalałby obliczyć pole dowolnego czworokąta wyłącznie na podstawie długości jego boków. Inaczej oblicza się pole kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trapezu czy deltoidu, a jeszcze innego podejścia wymaga czworokąt nieregularny. W niektórych zadaniach wykorzystuje się długości boków i wysokość, w innych przekątne, kąt między nimi, współrzędne wierzchołków albo podział figury na dwa trójkąty.
Czworokąt to wielokąt mający cztery boki, cztery wierzchołki i cztery kąty wewnętrzne. Suma miar jego kątów wewnętrznych wynosi zawsze 360 stopni. Do czworokątów należą zarówno dobrze znane figury o szczególnych właściwościach, takie jak kwadrat i prostokąt, jak i figury nieregularne, których boki oraz kąty mogą mieć różne długości i miary.
Znajomość wzorów na pola czworokątów jest potrzebna nie tylko podczas lekcji matematyki. Obliczenia tego rodzaju wykorzystuje się w geodezji, budownictwie, architekturze, projektowaniu wnętrz, rolnictwie i wielu codziennych sytuacjach. Dzięki nim można określić powierzchnię działki, podłogi, ściany, dachu, płytki, fragmentu materiału lub elementu konstrukcyjnego.
Aby poprawnie wybrać wzór na pole czworokąta, należy najpierw rozpoznać rodzaj figury i sprawdzić, jakie wielkości są znane. Trzeba także zwrócić uwagę na jednostki. Jeżeli długości podano w centymetrach, wynik pola zapisujemy w centymetrach kwadratowych. Jeżeli wymiary podano w metrach, pole otrzymujemy w metrach kwadratowych.
Wzór na pole czworokąta – najważniejsza zasada
Nie ma jednego podstawowego wzoru na pole każdego czworokąta, który wykorzystywałby wyłącznie długości jego czterech boków. Samo podanie boków zwykle nie wystarcza, ponieważ czworokąty o takich samych długościach boków mogą mieć różne kąty, a tym samym różne pola.
Najczęściej stosowane wzory dotyczą konkretnych rodzajów czworokątów:
Kwadrat:
[
P=a^2
]
Prostokąt:
[
P=a\\cdot b
]
Równoległobok:
[
P=a\\cdot h
]
Romb:
[
P=a\\cdot h
]
lub
[
P=\\frac{e\\cdot f}{2}
]
Trapez:
[
P=\\frac{(a+b)\\cdot h}{2}
]
Deltoid:
[
P=\\frac{e\\cdot f}{2}
]
W powyższych wzorach litery (a) i (b) oznaczają odpowiednie długości boków lub podstaw, (h) oznacza wysokość, natomiast (e) i (f) są długościami przekątnych.
Dla dowolnego czworokąta można również wykorzystać wzór oparty na przekątnych i kącie między nimi:
[
P=\\frac{1}{2}ef\\sin\\alpha
]
gdzie (e) oraz (f) są przekątnymi, a (\\alpha) jest kątem między nimi.
Co to jest pole czworokąta?
Pole czworokąta to miara powierzchni zajmowanej przez figurę. Określa ono, jak duży obszar znajduje się wewnątrz czterech boków czworokąta. Pole zawsze wyrażamy w jednostkach kwadratowych, na przykład:
- milimetrach kwadratowych, czyli mm²,
- centymetrach kwadratowych, czyli cm²,
- decymetrach kwadratowych, czyli dm²,
- metrach kwadratowych, czyli m²,
- kilometrach kwadratowych, czyli km²,
- arach i hektarach w przypadku powierzchni gruntów.
Jeżeli prostokąt ma długość 5 cm i szerokość 3 cm, to jego pole wynosi 15 cm². Oznacza to, że w jego wnętrzu zmieściłoby się piętnaście kwadratów o boku długości 1 cm.
Pole należy odróżnić od obwodu. Obwód jest sumą długości wszystkich boków, natomiast pole opisuje powierzchnię figury. Wynik obwodu zapisuje się w jednostkach długości, a wynik pola w jednostkach kwadratowych.
Rodzaje czworokątów
Dobór wzoru zależy przede wszystkim od rodzaju czworokąta. Wśród najważniejszych figur wyróżniamy:
- kwadrat,
- prostokąt,
- równoległobok,
- romb,
- trapez,
- deltoid,
- czworokąt nieregularny.
Każdy kwadrat jest prostokątem i rombem, ponieważ ma cztery kąty proste oraz cztery boki równej długości. Każdy prostokąt jest równoległobokiem, gdyż jego przeciwległe boki są równoległe. Romb również należy do równoległoboków, ponieważ ma dwie pary boków równoległych.
Zależności między figurami są ważne, ponieważ czasami dla tego samego czworokąta można zastosować kilka różnych wzorów. Pole kwadratu można obliczyć z długości boku, przekątnej, obwodu albo promienia okręgu wpisanego. Wybór metody zależy od informacji zawartych w zadaniu.
Wzór na pole kwadratu
Kwadrat to czworokąt, którego wszystkie boki mają jednakową długość, a każdy kąt wewnętrzny ma 90 stopni. Najbardziej podstawowy wzór na pole kwadratu ma postać:
[
P=a^2
]
Litera (a) oznacza długość boku kwadratu. Zapis (a^2) oznacza (a\\cdot a).
Jeżeli bok kwadratu ma długość 6 cm, jego pole wynosi:
[
P=6^2=36\\text{ cm}^2
]
Kwadrat o boku długości 6 cm ma więc pole równe 36 cm².
Pole kwadratu z przekątnej
Przekątna kwadratu dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne. Jej długość jest równa:
[
d=a\\sqrt{2}
]
Jeżeli znamy przekątną (d), możemy obliczyć pole ze wzoru:
[
P=\\frac{d^2}{2}
]
Przykład: przekątna kwadratu ma długość 8 cm.
[
P=\\frac{8^2}{2}=\\frac{64}{2}=32\\text{ cm}^2
]
Pole kwadratu z obwodu
Obwód kwadratu obliczamy ze wzoru:
[
O=4a
]
Z tego wynika:
[
a=\\frac{O}{4}
]
Po podstawieniu do wzoru na pole otrzymujemy:
[
P=\\left(\\frac{O}{4}\\right)^2
]
czyli:
[
P=\\frac{O^2}{16}
]
Jeżeli obwód kwadratu wynosi 20 cm, długość boku to:
[
a=\\frac{20}{4}=5\\text{ cm}
]
Pole wynosi:
[
P=5^2=25\\text{ cm}^2
]
Wzór na pole prostokąta
Prostokąt jest czworokątem mającym cztery kąty proste. Jego przeciwległe boki są równe i równoległe. Pole prostokąta obliczamy, mnożąc długości dwóch sąsiednich boków:
[
P=a\\cdot b
]
Litery (a) oraz (b) oznaczają długość i szerokość prostokąta.
Jeżeli prostokąt ma boki długości 9 cm i 4 cm, jego pole wynosi:
[
P=9\\cdot4=36\\text{ cm}^2
]
Dlaczego pole prostokąta to iloczyn boków?
Wzór można zrozumieć, dzieląc prostokąt na jednostkowe kwadraty. Jeśli w jednym rzędzie mieści się 9 kwadratów, a rzędów jest 4, wszystkich kwadratów jest:
[
9\\cdot4=36
]
Dlatego pole figury wynosi 36 jednostek kwadratowych.
Pole prostokąta z obwodu i jednego boku
Obwód prostokąta jest równy:
[
O=2a+2b
]
Jeżeli znamy obwód i jeden bok, możemy obliczyć drugi:
[
b=\\frac{O}{2}-a
]
Następnie korzystamy ze wzoru:
[
P=a\\cdot b
]
Przykład: obwód prostokąta wynosi 30 cm, a jeden bok ma długość 6 cm.
[
b=\\frac{30}{2}-6=15-6=9\\text{ cm}
]
Pole:
[
P=6\\cdot9=54\\text{ cm}^2
]
Pole prostokąta z przekątnej i boku
Jeżeli znamy przekątną prostokąta oraz długość jednego boku, drugi bok można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
[
d^2=a^2+b^2
]
Stąd:
[
b=\\sqrt{d^2-a^2}
]
Pole jest wtedy równe:
[
P=a\\sqrt{d^2-a^2}
]
Przykład: przekątna ma długość 13 cm, a jeden bok 5 cm.
[
b=\\sqrt{13^2-5^2}=\\sqrt{169-25}=\\sqrt{144}=12\\text{ cm}
]
Pole:
[
P=5\\cdot12=60\\text{ cm}^2
]
Wzór na pole równoległoboku
Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są równoległe i mają równe długości. Pole równoległoboku obliczamy ze wzoru:
[
P=a\\cdot h
]
Litera (a) oznacza długość podstawy, a (h) wysokość opuszczoną na tę podstawę.
Jeżeli podstawa ma długość 10 cm, a odpowiadająca jej wysokość 6 cm, pole wynosi:
[
P=10\\cdot6=60\\text{ cm}^2
]
Czym jest wysokość równoległoboku?
Wysokość równoległoboku to odcinek prostopadły do wybranej podstawy, łączący ją z prostą zawierającą bok przeciwległy. Wysokość nie jest zwykle długością ukośnego boku.
To jedno z najczęstszych źródeł błędów. Wzór (P=a\\cdot h) wymaga wysokości prostopadłej do podstawy. Nie można automatycznie pomnożyć długości dwóch sąsiednich boków, chyba że równoległobok jest prostokątem.
Dwie podstawy i dwie wysokości
W równoległoboku każdy z dwóch różnych boków może zostać wybrany jako podstawa. Jeżeli boki mają długości (a) i (b), odpowiadają im wysokości (h_a) oraz (h_b).
Pole można zapisać na dwa sposoby:
[
P=a\\cdot h_a
]
oraz:
[
P=b\\cdot h_b
]
Oba wyniki muszą być identyczne.
Pole równoległoboku z dwóch boków i kąta
Jeżeli znamy długości dwóch sąsiednich boków oraz kąt między nimi, korzystamy ze wzoru:
[
P=ab\\sin\\alpha
]
Litera (\\alpha) oznacza kąt zawarty między bokami (a) i (b).
Przykład: boki równoległoboku mają długości 8 cm i 5 cm, a kąt między nimi wynosi 30 stopni.
[
P=8\\cdot5\\cdot\\sin30^\\circ
]
Ponieważ:
[
\\sin30^\\circ=\\frac{1}{2}
]
otrzymujemy:
[
P=40\\cdot\\frac{1}{2}=20\\text{ cm}^2
]
Wzór na pole rombu
Romb jest równoległobokiem, którego wszystkie boki mają jednakową długość. Pole rombu można obliczać na kilka sposobów.
Najbardziej podstawowy wzór wykorzystuje bok i wysokość:
[
P=a\\cdot h
]
Jeżeli bok rombu ma długość 7 cm, a wysokość 4 cm, to:
[
P=7\\cdot4=28\\text{ cm}^2
]
Pole rombu z przekątnych
Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się wzajemnie na połowy. Dlatego pole można obliczyć ze wzoru:
[
P=\\frac{e\\cdot f}{2}
]
Jeżeli przekątne mają długości 12 cm i 8 cm, pole wynosi:
[
P=\\frac{12\\cdot8}{2}=\\frac{96}{2}=48\\text{ cm}^2
]
Pole rombu z boku i kąta
Jeżeli znamy długość boku rombu i miarę kąta wewnętrznego, stosujemy wzór:
[
P=a^2\\sin\\alpha
]
Przykład: bok rombu ma długość 6 cm, a kąt ostry wynosi 30 stopni.
[
P=6^2\\sin30^\\circ
]
[
P=36\\cdot\\frac{1}{2}=18\\text{ cm}^2
]
Wzór ten wynika z ogólnego wzoru na pole równoległoboku (P=ab\\sin\\alpha). W rombie oba sąsiednie boki mają tę samą długość, więc (a=b).
Wzór na pole trapezu
Trapez to czworokąt mający co najmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe nazywamy podstawami, a pozostałe ramionami.
Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
[
P=\\frac{(a+b)\\cdot h}{2}
]
Litery (a) i (b) oznaczają długości podstaw, a (h) wysokość trapezu.
Można również powiedzieć, że pole trapezu jest iloczynem średniej arytmetycznej długości podstaw i wysokości:
[
P=\\frac{a+b}{2}\\cdot h
]
Przykład: podstawy trapezu mają długości 10 cm i 6 cm, a wysokość wynosi 5 cm.
[
P=\\frac{(10+6)\\cdot5}{2}
]
[
P=\\frac{16\\cdot5}{2}=40\\text{ cm}^2
]
Skąd bierze się wzór na pole trapezu?
Dwa przystające trapezy można połączyć w równoległobok. Podstawa powstałego równoległoboku ma długość (a+b), a wysokość pozostaje równa (h). Pole równoległoboku wynosi:
[
(a+b)h
]
Ponieważ składa się on z dwóch jednakowych trapezów, pole jednego trapezu jest równe połowie tej wartości:
[
P=\\frac{(a+b)h}{2}
]
Pole trapezu z odcinka środkowego
Odcinek środkowy trapezu łączy środki jego ramion. Jego długość jest równa średniej arytmetycznej podstaw:
[
m=\\frac{a+b}{2}
]
Pole trapezu można więc obliczyć ze wzoru:
[
P=m\\cdot h
]
Jeżeli odcinek środkowy ma długość 9 cm, a wysokość 4 cm, pole wynosi:
[
P=9\\cdot4=36\\text{ cm}^2
]
Pole trapezu prostokątnego
Trapez prostokątny ma dwa kąty proste. Jedno z jego ramion jest jednocześnie wysokością. Dzięki temu w zadaniach często nie trzeba osobno obliczać (h).
Jeżeli podstawy trapezu mają długości 13 cm i 7 cm, a prostopadłe ramię ma długość 5 cm, to:
[
P=\\frac{(13+7)\\cdot5}{2}
]
[
P=\\frac{20\\cdot5}{2}=50\\text{ cm}^2
]
Drugie, ukośne ramię nie jest potrzebne do obliczenia pola, jeśli znamy obie podstawy i wysokość.
Pole trapezu równoramiennego
Trapez równoramienny ma ramiona jednakowej długości. Jego kąty przy każdej podstawie są równe, a przekątne mają jednakową długość.
Podstawowy wzór na pole pozostaje taki sam:
[
P=\\frac{(a+b)h}{2}
]
W niektórych zadaniach wysokość nie jest podana bezpośrednio. Można ją wyznaczyć, dzieląc trapez na prostokąt i dwa przystające trójkąty prostokątne.
Jeżeli (c) oznacza długość ramienia, a (a>b), pozioma przyprostokątna każdego z bocznych trójkątów ma długość:
[
x=\\frac{a-b}{2}
]
Z twierdzenia Pitagorasa:
[
h=\\sqrt{c^2-x^2}
]
czyli:
[
h=\\sqrt{c^2-\\left(\\frac{a-b}{2}\\right)^2}
]
Następnie wysokość podstawiamy do wzoru na pole.
Przykład pola trapezu równoramiennego
Podstawy mają długości 14 cm i 8 cm, a każde ramię 5 cm.
Najpierw obliczamy:
[
x=\\frac{14-8}{2}=3\\text{ cm}
]
Następnie:
[
h=\\sqrt{5^2-3^2}=\\sqrt{25-9}=\\sqrt{16}=4\\text{ cm}
]
Pole:
[
P=\\frac{(14+8)\\cdot4}{2}
]
[
P=\\frac{22\\cdot4}{2}=44\\text{ cm}^2
]
Wzór na pole deltoidu
Deltoid to czworokąt mający dwie pary sąsiednich boków równej długości. Jego przekątne są prostopadłe, a jedna z nich dzieli drugą na połowy.
Pole deltoidu obliczamy ze wzoru:
[
P=\\frac{e\\cdot f}{2}
]
Litery (e) i (f) oznaczają długości przekątnych.
Jeżeli przekątne deltoidu mają długości 15 cm i 6 cm, pole wynosi:
[
P=\\frac{15\\cdot6}{2}=\\frac{90}{2}=45\\text{ cm}^2
]
Wzór ten wygląda tak samo jak wzór na pole rombu z przekątnych. Wynika to z faktu, że w obu figurach przekątne przecinają się pod kątem prostym.
Wzór na pole dowolnego czworokąta z przekątnych
Dla dowolnego czworokąta wypukłego, którego przekątne mają długości (e) i (f), a kąt między nimi ma miarę (\\alpha), pole można obliczyć ze wzoru:
[
P=\\frac{1}{2}ef\\sin\\alpha
]
Jest to bardzo uniwersalny wzór na pole czworokąta, ponieważ nie wymaga, aby figura była prostokątem, rombem czy trapezem. Potrzebne są jednak długości obu przekątnych oraz miara kąta między nimi.
Przykład zastosowania
Przekątne czworokąta mają długości 10 cm i 12 cm, a kąt między nimi wynosi 30 stopni.
[
P=\\frac{1}{2}\\cdot10\\cdot12\\cdot\\sin30^\\circ
]
[
P=60\\cdot\\frac{1}{2}=30\\text{ cm}^2
]
Przekątne prostopadłe
Jeżeli przekątne przecinają się pod kątem 90 stopni, mamy:
[
\\sin90^\\circ=1
]
Wzór upraszcza się do postaci:
[
P=\\frac{ef}{2}
]
Dlatego ten sam wzór stosujemy dla rombu i deltoidu.
Pole czworokąta jako suma pól dwóch trójkątów
Każdy czworokąt wypukły można podzielić jedną przekątną na dwa trójkąty. Pole całej figury jest wtedy sumą pól tych trójkątów:
[
P=P_1+P_2
]
Jeżeli znamy długość przekątnej (d) oraz wysokości (h_1) i (h_2) opuszczone z pozostałych wierzchołków na prostą zawierającą tę przekątną, pola trójkątów wynoszą:
[
P_1=\\frac{d h_1}{2}
]
oraz:
[
P_2=\\frac{d h_2}{2}
]
Po dodaniu:
[
P=\\frac{d h_1}{2}+\\frac{d h_2}{2}
]
[
P=\\frac{d(h_1+h_2)}{2}
]
Jest to przydatny wzór na pole nieregularnego czworokąta.
Przykład
Przekątna czworokąta ma długość 9 cm. Wysokości dwóch trójkątów opuszczone na tę przekątną mają długości 4 cm i 6 cm.
[
P=\\frac{9(4+6)}{2}
]
[
P=\\frac{9\\cdot10}{2}=45\\text{ cm}^2
]
Pole czworokąta wpisanego w okrąg
Czworokąt wpisany w okrąg to taki czworokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na jednym okręgu. Dla takiej figury można zastosować wzór Brahmagupty:
[
P=\\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
]
gdzie (a), (b), (c) i (d) są długościami kolejnych boków, a (p) jest połową obwodu:
[
p=\\frac{a+b+c+d}{2}
]
Wzór Brahmagupty przypomina wzór Herona na pole trójkąta. Należy jednak pamiętać, że działa on dla czworokątów wpisanych w okrąg, a nie dla każdego dowolnego czworokąta.
Przykład zastosowania wzoru Brahmagupty
Czworokąt wpisany w okrąg ma boki długości 4 cm, 5 cm, 7 cm i 8 cm.
Najpierw obliczamy połowę obwodu:
[
p=\\frac{4+5+7+8}{2}=\\frac{24}{2}=12
]
Następnie:
[
P=\\sqrt{(12-4)(12-5)(12-7)(12-8)}
]
[
P=\\sqrt{8\\cdot7\\cdot5\\cdot4}
]
[
P=\\sqrt{1120}
]
Po uproszczeniu:
[
P=4\\sqrt{70}\\text{ cm}^2
]
W przybliżeniu:
[
P\\approx33{,}47\\text{ cm}^2
]
Wzór Bretschneidera na pole dowolnego czworokąta
Dla bardziej ogólnego czworokąta można zastosować wzór Bretschneidera. Jeśli długości kolejnych boków wynoszą (a), (b), (c) i (d), a dwa przeciwległe kąty mają miary (\\alpha) i (\\gamma), pole wyraża wzór:
[
P=\\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\\cos^2\\left(\\frac{\\alpha+\\gamma}{2}\\right)}
]
gdzie:
[
p=\\frac{a+b+c+d}{2}
]
Jest to rozszerzenie wzoru Brahmagupty. Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, suma przeciwległych kątów wynosi 180 stopni. Wtedy:
[
\\cos\\left(\\frac{180^\\circ}{2}\\right)=\\cos90^\\circ=0
]
Druga część pod pierwiastkiem znika, a wzór Bretschneidera przechodzi we wzór Brahmagupty.
Wzór Bretschneidera jest rzadziej wykorzystywany na podstawowym poziomie nauczania, ale pokazuje, dlaczego długości czterech boków nie wystarczają do jednoznacznego określenia pola dowolnego czworokąta. Potrzebna jest jeszcze informacja o jego kątach lub innej własności geometrycznej.
Pole czworokąta ze współrzędnych wierzchołków
Jeżeli wierzchołki czworokąta są podane w układzie współrzędnych, pole można obliczyć za pomocą wzoru nazywanego czasem wzorem Gaussa lub metodą sznurowadła.
Dla kolejno zapisanych wierzchołków:
[
A(x_1,y_1),\\quad B(x_2,y_2),\\quad C(x_3,y_3),\\quad D(x_4,y_4)
]
pole wynosi:
[
P=\\frac{1}{2}\\left|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1-y_1x_2-y_2x_3-y_3x_4-y_4x_1\\right|
]
Wierzchołki należy zapisać kolejno wokół czworokąta, zgodnie albo przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Nie można podawać ich w przypadkowej kolejności.
Przykład pola ze współrzędnych
Rozważmy czworokąt o wierzchołkach:
[
A(0,0),\\quad B(5,0),\\quad C(4,3),\\quad D(1,3)
]
Podstawiamy:
[
P=\\frac{1}{2}|0\\cdot0+5\\cdot3+4\\cdot3+1\\cdot0-0\\cdot5-0\\cdot4-3\\cdot1-3\\cdot0|
]
[
P=\\frac{1}{2}|0+15+12+0-0-0-3-0|
]
[
P=\\frac{1}{2}\\cdot24=12
]
Pole czworokąta wynosi 12 jednostek kwadratowych.
Pole czworokąta w układzie współrzędnych przez podział na figury
Nie zawsze trzeba korzystać z rozbudowanego wzoru. Jeśli czworokąt w układzie współrzędnych ma prosty kształt, można podzielić go na prostokąty i trójkąty albo wpisać w większy prostokąt i odjąć pola figur znajdujących się poza nim.
Metoda ta jest często bardziej intuicyjna. Należy jednak dokładnie ustalić długości odcinków na podstawie różnic współrzędnych.
Jeżeli dwa punkty mają tę samą współrzędną (y), odcinek między nimi jest poziomy, a jego długość jest wartością bezwzględną różnicy współrzędnych (x). Jeżeli mają tę samą współrzędną (x), odcinek jest pionowy, a jego długość wynika z różnicy współrzędnych (y).
Wzór na pole czworokąta foremnego
Jedynym foremnym czworokątem jest kwadrat. Wielokąt foremny ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równej miary. Dla czterech boków warunki te spełnia właśnie kwadrat.
Wzór na pole czworokąta foremnego ma więc postać:
[
P=a^2
]
Można go również wyrazić przez przekątną:
[
P=\\frac{d^2}{2}
]
albo przez promień okręgu opisanego (R). W kwadracie:
[
d=2R
]
Zatem:
[
P=\\frac{(2R)^2}{2}=2R^2
]
Jeśli znamy promień okręgu wpisanego (r), bok kwadratu wynosi:
[
a=2r
]
Stąd:
[
P=(2r)^2=4r^2
]
Pole czworokąta wypukłego
Czworokąt wypukły to taki, w którym każdy odcinek łączący dwa punkty figury leży w całości wewnątrz niej lub na jej brzegu. Wszystkie kąty wewnętrzne czworokąta wypukłego mają mniej niż 180 stopni.
Większość podstawowych wzorów i metod szkolnych dotyczy właśnie czworokątów wypukłych. Można je łatwo podzielić przekątną na dwa trójkąty, a pole jest sumą ich pól.
Dla przekątnych (e) i (f) oraz kąta (\\alpha) między nimi stosujemy:
[
P=\\frac{1}{2}ef\\sin\\alpha
]
Pole czworokąta wklęsłego
Czworokąt wklęsły ma jeden kąt wewnętrzny większy niż 180 stopni. Jedna z jego przekątnych znajduje się częściowo poza figurą.
Pole takiego czworokąta również można obliczyć przez odpowiedni podział na trójkąty, ale czasami zamiast dodawania pól trzeba zastosować odejmowanie. Bardzo wygodna jest metoda współrzędnych, która działa zarówno dla wielokątów wypukłych, jak i wklęsłych, pod warunkiem prawidłowego uporządkowania wierzchołków.
Przy rozwiązywaniu zadań z czworokątem wklęsłym należy uważnie przeanalizować rysunek. Automatyczne zastosowanie schematu przeznaczonego dla figury wypukłej może prowadzić do błędnego wyniku.
Czy z czterech boków można obliczyć pole czworokąta?
Dla dowolnego czworokąta znajomość długości czterech boków nie wystarcza. Można zbudować różne figury o tych samych bokach, ale innych kątach i różnym polu.
Dobrym przykładem jest romb. Wszystkie jego boki mają równą długość, lecz pole zależy od kąta między sąsiednimi bokami:
[
P=a^2\\sin\\alpha
]
Romb o boku 5 cm i kącie 90 stopni jest kwadratem i ma pole:
[
P=25\\text{ cm}^2
]
Romb o takim samym boku i kącie 30 stopni ma pole:
[
P=25\\cdot\\frac{1}{2}=12{,}5\\text{ cm}^2
]
Boki są identyczne, lecz pola znacznie się różnią.
Wyjątkiem jest czworokąt wpisany w okrąg, dla którego można zastosować wzór Brahmagupty. Wtedy informacja o wpisaniu figury w okrąg stanowi dodatkowy warunek geometryczny.
Jak wybrać właściwy wzór na pole czworokąta?
Przed rozpoczęciem obliczeń warto wykonać kilka prostych kroków.
Najpierw trzeba rozpoznać figurę. Czy jest to kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb, trapez, deltoid czy czworokąt nieregularny?
Następnie należy wypisać dane. Mogą to być:
- długości boków,
- długość wysokości,
- długości przekątnych,
- kąt między bokami,
- kąt między przekątnymi,
- współrzędne wierzchołków,
- obwód,
- informacja o okręgu opisanym.
Kolejny krok to wybór wzoru wykorzystującego dokładnie te wielkości, które znamy. Jeżeli w zadaniu dotyczącym rombu podano przekątne, nie ma potrzeby obliczania wysokości. Jeśli w trapezie podano podstawy i wysokość, stosujemy bezpośrednio podstawowy wzór.
Na końcu należy sprawdzić jednostki i ocenić, czy wynik jest rozsądny.
Najczęstsze błędy przy obliczaniu pola czworokąta
Jednym z najczęstszych błędów jest pomylenie pola z obwodem. Dodanie długości boków daje obwód, nie pole.
Drugim problemem jest używanie niewłaściwej wysokości. Wysokość musi być prostopadła do wybranej podstawy. Ukośne ramię równoległoboku lub trapezu zazwyczaj nie jest wysokością.
Często zapomina się również o dzieleniu przez 2 we wzorze na pole trapezu, rombu lub deltoidu:
[
P=\\frac{(a+b)h}{2}
]
oraz:
[
P=\\frac{ef}{2}
]
Inne typowe błędy to:
- dodawanie podstaw trapezu bez nawiasu,
- mnożenie dwóch boków równoległoboku bez uwzględnienia kąta lub wysokości,
- stosowanie wzoru Brahmagupty do dowolnego czworokąta,
- brak zamiany jednostek,
- zapisywanie wyniku w jednostkach liniowych zamiast kwadratowych,
- błędne rozpoznanie przekątnej jako boku,
- podawanie wierzchołków w przypadkowej kolejności we wzorze współrzędnościowym.
Jednostki pola czworokąta
Pole zawsze zapisujemy w jednostkach kwadratowych. Najczęściej stosowane przeliczenia to:
[
1\\text{ cm}^2=100\\text{ mm}^2
]
[
1\\text{ dm}^2=100\\text{ cm}^2
]
[
1\\text{ m}^2=100\\text{ dm}^2=10,000\\text{ cm}^2
]
[
1\\text{ a}=100\\text{ m}^2
]
[
1\\text{ ha}=10,000\\text{ m}^2
]
[
1\\text{ km}^2=1,000,000\\text{ m}^2
]
Przy zmianie jednostek długości współczynnik trzeba podnieść do kwadratu. Ponieważ:
[
1\\text{ m}=100\\text{ cm}
]
to:
[
1\\text{ m}^2=100^2\\text{ cm}^2=10,000\\text{ cm}^2
]
Niepoprawne byłoby stwierdzenie, że 1 m² to 100 cm².
Przykład z różnymi jednostkami
Prostokąt ma długość 2 m i szerokość 50 cm. Przed obliczeniem pola trzeba sprowadzić wymiary do jednej jednostki.
Możemy zamienić 2 m na 200 cm:
[
P=200\\text{ cm}\\cdot50\\text{ cm}=10,000\\text{ cm}^2
]
Po zamianie:
[
10,000\\text{ cm}^2=1\\text{ m}^2
]
Można również zamienić 50 cm na 0,5 m:
[
P=2\\text{ m}\\cdot0{,}5\\text{ m}=1\\text{ m}^2
]
Obie metody prowadzą do tego samego wyniku.
Zadanie z polem kwadratu
Bok kwadratu ma długość 11 cm. Oblicz jego pole.
Korzystamy ze wzoru:
[
P=a^2
]
Podstawiamy:
[
P=11^2
]
[
P=121\\text{ cm}^2
]
Pole kwadratu wynosi 121 cm².
Zadanie z polem prostokąta
Prostokąt ma długość 14 cm i szerokość 7 cm.
[
P=a\\cdot b
]
[
P=14\\cdot7
]
[
P=98\\text{ cm}^2
]
Pole prostokąta wynosi 98 cm².
Zadanie z polem równoległoboku
Podstawa równoległoboku ma długość 12 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę 5 cm.
[
P=a\\cdot h
]
[
P=12\\cdot5
]
[
P=60\\text{ cm}^2
]
Pole równoległoboku wynosi 60 cm².
Długość ukośnego boku nie jest potrzebna.
Zadanie z polem rombu
Przekątne rombu mają długości 18 cm i 10 cm.
[
P=\\frac{ef}{2}
]
[
P=\\frac{18\\cdot10}{2}
]
[
P=\\frac{180}{2}=90\\text{ cm}^2
]
Pole rombu wynosi 90 cm².
Zadanie z polem trapezu
Podstawy trapezu mają długości 16 cm i 10 cm, a wysokość wynosi 7 cm.
[
P=\\frac{(a+b)h}{2}
]
[
P=\\frac{(16+10)\\cdot7}{2}
]
[
P=\\frac{26\\cdot7}{2}
]
[
P=13\\cdot7=91\\text{ cm}^2
]
Pole trapezu wynosi 91 cm².
Zadanie z polem deltoidu
Przekątne deltoidu mają długości 20 cm i 9 cm.
[
P=\\frac{ef}{2}
]
[
P=\\frac{20\\cdot9}{2}
]
[
P=90\\text{ cm}^2
]
Pole deltoidu wynosi 90 cm².
Zadanie z dowolnym czworokątem i przekątnymi
Przekątne czworokąta mają długości 14 cm oraz 8 cm, a kąt między nimi wynosi 60 stopni.
Korzystamy ze wzoru:
[
P=\\frac{1}{2}ef\\sin\\alpha
]
[
P=\\frac{1}{2}\\cdot14\\cdot8\\cdot\\sin60^\\circ
]
Ponieważ:
[
\\sin60^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2}
]
otrzymujemy:
[
P=56\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2}
]
[
P=28\\sqrt{3}\\text{ cm}^2
]
W przybliżeniu:
[
P\\approx48{,}5\\text{ cm}^2
]
Zadanie z czworokątem podzielonym przekątną
Przekątna czworokąta ma długość 15 cm. Wysokości opuszczone z pozostałych wierzchołków na tę przekątną wynoszą 4 cm i 7 cm.
[
P=\\frac{d(h_1+h_2)}{2}
]
[
P=\\frac{15(4+7)}{2}
]
[
P=\\frac{15\\cdot11}{2}
]
[
P=82{,}5\\text{ cm}^2
]
Pole czworokąta wynosi 82,5 cm².
Obliczanie brakującego boku z pola
Wzory na pole można przekształcać. Jeżeli znamy pole prostokąta i jeden bok, drugi bok obliczamy ze wzoru:
[
b=\\frac{P}{a}
]
Przykład: pole prostokąta wynosi 72 cm², a jeden bok 8 cm.
[
b=\\frac{72}{8}=9\\text{ cm}
]
Drugi bok ma długość 9 cm.
W równoległoboku:
[
P=a h
]
stąd:
[
a=\\frac{P}{h}
]
lub:
[
h=\\frac{P}{a}
]
Jeżeli pole równoległoboku wynosi 54 cm², a podstawa ma długość 9 cm, wysokość wynosi:
[
h=\\frac{54}{9}=6\\text{ cm}
]
Obliczanie wysokości trapezu z pola
Ze wzoru:
[
P=\\frac{(a+b)h}{2}
]
możemy wyznaczyć wysokość:
[
2P=(a+b)h
]
[
h=\\frac{2P}{a+b}
]
Przykład: pole trapezu wynosi 60 cm², a podstawy mają długości 8 cm i 12 cm.
[
h=\\frac{2\\cdot60}{8+12}
]
[
h=\\frac{120}{20}=6\\text{ cm}
]
Wysokość trapezu wynosi 6 cm.
Obliczanie podstawy trapezu z pola
Jeżeli znamy pole, wysokość i jedną podstawę, możemy wyznaczyć drugą.
Ze wzoru:
[
P=\\frac{(a+b)h}{2}
]
otrzymujemy:
[
a+b=\\frac{2P}{h}
]
a zatem:
[
b=\\frac{2P}{h}-a
]
Przykład: pole trapezu wynosi 48 cm², wysokość 4 cm, a jedna podstawa 10 cm.
[
b=\\frac{2\\cdot48}{4}-10
]
[
b=24-10=14\\text{ cm}
]
Druga podstawa ma długość 14 cm.
Pole czworokąta w zadaniach tekstowych
Zadania tekstowe często wymagają nie tylko zastosowania wzoru, ale także rozpoznania kształtu i odrzucenia zbędnych informacji.
Przykład: podłoga pokoju ma kształt prostokąta o wymiarach 5 m na 4 m. Ile metrów kwadratowych paneli trzeba kupić, pomijając zapas?
[
P=5\\cdot4=20\\text{ m}^2
]
Potrzeba 20 m² paneli.
Jeżeli trzeba doliczyć 10 procent zapasu:
[
10%\\cdot20=2\\text{ m}^2
]
Łącznie:
[
20+2=22\\text{ m}^2
]
Pole działki o kształcie czworokąta
Działka nie zawsze ma kształt prostokąta. Jeśli jest trapezem, korzystamy ze wzoru na pole trapezu. Jeżeli jest nieregularnym czworokątem, można podzielić ją przekątną na dwa trójkąty i obliczyć ich pola.
W praktyce geodezyjnej wykorzystuje się współrzędne punktów granicznych. Pole oblicza się wtedy metodą współrzędnościową. Pozwala ona uwzględnić nieregularny kształt działki bez upraszczania jej do prostokąta.
Przy obliczeniach powierzchni nieruchomości szkolny wynik nie zastępuje oficjalnego pomiaru geodezyjnego. Dokładne wyznaczanie granic wymaga profesjonalnych danych i odpowiednich instrumentów.
Pole ściany i powierzchnia materiałów
Ściana ma zwykle kształt prostokąta, dlatego jej pole oblicza się jako iloczyn szerokości i wysokości. Jeśli znajdują się w niej okna lub drzwi, ich pola należy odjąć.
Przykład: ściana ma szerokość 6 m i wysokość 2,5 m.
[
P_{\\text{ściany}}=6\\cdot2{,}5=15\\text{ m}^2
]
Okno ma wymiary 1,5 m na 1,2 m:
[
P_{\\text{okna}}=1{,}5\\cdot1{,}2=1{,}8\\text{ m}^2
]
Powierzchnia do pomalowania:
[
15-1{,}8=13{,}2\\text{ m}^2
]
Jeżeli producent podaje wydajność farby w metrach kwadratowych na litr, wynik pozwala oszacować potrzebną ilość materiału.
Pole czworokąta a skala
Jeżeli figura została narysowana w skali, trzeba pamiętać, że skala długości i skala pola nie są takie same.
W skali 1:100 długość 1 cm na rysunku odpowiada 100 cm w rzeczywistości. Pole natomiast zmienia się w stosunku:
[
1:100^2
]
czyli:
[
1:10,000
]
Jeżeli prostokąt na planie ma wymiary 4 cm i 3 cm w skali 1:100, rzeczywiste wymiary wynoszą 4 m i 3 m. Pole rzeczywiste to:
[
P=4\\cdot3=12\\text{ m}^2
]
Nie można po prostu obliczyć pola na planie i pomnożyć go przez 100. Trzeba zastosować kwadrat skali albo najpierw przeliczyć długości.
Zależność pola od wysokości
W równoległoboku i trapezie pole jest wprost proporcjonalne do wysokości. Jeśli pozostałe dane pozostają bez zmian, dwukrotne zwiększenie wysokości powoduje dwukrotne zwiększenie pola.
Dla równoległoboku:
[
P=a h
]
Jeżeli wysokość wzrośnie z (h) do (2h), otrzymamy:
[
P_2=a\\cdot2h=2P
]
W trapezie:
[
P=\\frac{(a+b)h}{2}
]
również podwojenie wysokości podwaja pole.
Zależność ta pomaga rozwiązywać zadania porównawcze bez wykonywania pełnych obliczeń.
Zależność pola kwadratu od boku
Pole kwadratu nie jest wprost proporcjonalne do długości boku, lecz do jej kwadratu:
[
P=a^2
]
Jeżeli bok zwiększymy dwukrotnie, pole wzrośnie czterokrotnie:
[
(2a)^2=4a^2
]
Jeżeli bok zwiększymy trzykrotnie, pole wzrośnie dziewięciokrotnie:
[
(3a)^2=9a^2
]
To ważna własność często pojawiająca się w zadaniach.
Przykład: kwadrat o boku 4 cm ma pole 16 cm². Kwadrat o boku 8 cm ma pole 64 cm². Bok jest dwa razy dłuższy, ale pole cztery razy większe.
Figury o tym samym obwodzie i różnym polu
Czworokąty o takim samym obwodzie mogą mieć różne pola. Przykładem są prostokąty o obwodzie 20 cm.
Prostokąt o bokach 1 cm i 9 cm ma pole:
[
P=1\\cdot9=9\\text{ cm}^2
]
Prostokąt o bokach 4 cm i 6 cm ma pole:
[
P=4\\cdot6=24\\text{ cm}^2
]
Kwadrat o boku 5 cm ma pole:
[
P=25\\text{ cm}^2
]
Wśród prostokątów o ustalonym obwodzie największe pole ma kwadrat. Pokazuje to, że znajomość obwodu nie wystarcza do określenia pola prostokąta, jeśli nie znamy jeszcze jednego wymiaru lub dodatkowego warunku.
Figury o tym samym polu i różnym obwodzie
Różne czworokąty mogą mieć jednakowe pole, ale inne obwody. Prostokąt o bokach 3 cm i 12 cm ma pole:
[
P=36\\text{ cm}^2
]
i obwód:
[
O=2\\cdot3+2\\cdot12=30\\text{ cm}
]
Kwadrat o boku 6 cm również ma pole:
[
P=36\\text{ cm}^2
]
ale jego obwód wynosi:
[
O=4\\cdot6=24\\text{ cm}
]
Pole nie określa więc jednoznacznie obwodu figury.
Jak sprawdzić poprawność wyniku?
Po wykonaniu obliczeń warto sprawdzić kilka elementów.
Po pierwsze, wynik powinien mieć jednostkę kwadratową. Zapis „40 cm” jako wynik pola jest niepoprawny. Powinno być „40 cm²”.
Po drugie, wynik nie może być ujemny. Pole jest zawsze liczbą nieujemną.
Po trzecie, można oszacować rezultat. Jeśli prostokąt ma boki około 10 cm i 5 cm, jego pole powinno być w pobliżu 50 cm², a nie 5000 cm².
Po czwarte, należy sprawdzić, czy użyto wysokości odpowiadającej wybranej podstawie.
Po piąte, warto ponownie przeczytać treść zadania i upewnić się, że obliczono pole wymaganej figury, a nie większego prostokąta pomocniczego albo jednego z jej fragmentów.
Jak zapamiętać wzory na pola czworokątów?
Najłatwiej zapamiętywać wzory przez zrozumienie ich budowy.
Pole prostokąta i równoległoboku to podstawa razy wysokość:
[
P=a h
]
W prostokącie wysokością jest drugi bok, dlatego:
[
P=ab
]
Pole trapezu to średnia długość podstaw pomnożona przez wysokość:
[
P=\\frac{a+b}{2}h
]
Pole rombu i deltoidu z przekątnych to połowa ich iloczynu:
[
P=\\frac{ef}{2}
]
Pole kwadratu jest iloczynem dwóch równych boków:
[
P=a^2
]
Zrozumienie tych zależności jest skuteczniejsze niż mechaniczne zapamiętywanie symboli.
Tabela najważniejszych wzorów na pole czworokąta
Najważniejsze zależności można zebrać w krótkim zestawieniu:
Kwadrat:
[
P=a^2
]
Prostokąt:
[
P=ab
]
Równoległobok:
[
P=ah
]
lub:
[
P=ab\\sin\\alpha
]
Romb:
[
P=ah
]
[
P=\\frac{ef}{2}
]
[
P=a^2\\sin\\alpha
]
Trapez:
[
P=\\frac{(a+b)h}{2}
]
Deltoid:
[
P=\\frac{ef}{2}
]
Dowolny czworokąt z przekątnych:
[
P=\\frac{1}{2}ef\\sin\\alpha
]
Czworokąt podzielony przekątną:
[
P=\\frac{d(h_1+h_2)}{2}
]
Czworokąt wpisany w okrąg:
[
P=\\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
]
gdzie:
[
p=\\frac{a+b+c+d}{2}
]
Wzór na pole czworokąta – podsumowanie najważniejszych zasad
Wzór na pole czworokąta należy dobierać do rodzaju figury i dostępnych danych. Dla kwadratu korzystamy najczęściej z kwadratu długości boku, dla prostokąta z iloczynu sąsiednich boków, dla równoległoboku z iloczynu podstawy i wysokości, a dla trapezu ze średniej arytmetycznej podstaw pomnożonej przez wysokość.
Pole rombu można wyznaczyć z boku i wysokości, z przekątnych albo z boku i kąta. W deltoidzie najwygodniejszy jest wzór wykorzystujący przekątne. Dla czworokąta nieregularnego można zastosować podział na trójkąty, przekątne wraz z kątem między nimi albo współrzędne wierzchołków.
Najważniejsze jest poprawne rozpoznanie figury, wskazanie podstawy i odpowiadającej jej wysokości, ujednolicenie jednostek oraz zapisanie wyniku w jednostkach kwadratowych. Trzeba również pamiętać, że długości czterech boków dowolnego czworokąta zwykle nie wystarczają do obliczenia jego pola. Potrzebna jest dodatkowa informacja, na przykład wysokość, kąt, przekątna, współrzędne albo warunek wpisania czworokąta w okrąg.
Opanowanie najważniejszych wzorów pozwala sprawnie rozwiązywać zadania szkolne i praktyczne. W wielu przypadkach nie trzeba znać jednego skomplikowanego wzoru ogólnego. Wystarczy rozłożyć figurę na prostsze części, wykorzystać znane zależności i krok po kroku obliczyć powierzchnię całego czworokąta.
